Способ вычисления эффективных параметров периодической среды

Введение

Уровень современной авиационной техники в большой степени определяется уровнем радиоэлектронного оборудования, а именно – радиоэлектронной части летательного аппарата: систем, отвечающих за интерфейс «человек–машина», пространственное положение и пилотирование, средств телекоммуникации, энергообеспечения, безопасности, управления, контроля и обеспечения жизненного цикла всех агрегатов и систем летательного аппарата и др. В последние десятилетия электроника, в том числе и авиационная, именуемая авионикой, является одной из наиболее динамично развивающихся отраслей человеческой деятельности, в особенности – применительно к созданию авиационных комплексов с беспилотными летательными аппаратами [1, 2].

Расположение большого количества электронных устройств, принимающих и излучающих электромагнитные волны в различных частотных диапазонах, в малом объеме пространства, ограниченном проводящим эквипотенциальным контуром фюзеляжа, остро ставит задачу электромагнитной совместимости бортового радиоэлектронного оборудования (БРЭО). Одно из направлений решения данной задачи – разработка легких широкополосных радиопоглощающих материалов, которые могут быть использованы как заполнители сотовых конструкций.

Ранее показано [3], что решение задачи получения широкополосного радиопоглощающего диэлектрического материала заданной толщины сводится к разработке способа точного регулирования соотношения между действительной и мнимой частью диэлектрической проницаемости материала.

Одним из наиболее перспективных радиопоглощающих наполнителей для решения поставленной задачи являются углеродные нанотрубки (УНТ) [4–9]. К преимуществам УНТ относятся низкий порог проводимости и возможность достижения равномерного ориентационного распределения нанотрубок внутри тонких слоев композита благодаря их малым размерам.

В ряде работ, например [10–13], определены частотные зависимости действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости различных нанокомпозитов с углеродными нанотрубками. Характерной особенностью всех исследованных композитов является резкое изменение величин действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости (ε′ и εʺ) при увеличении проводимости после достижения порога перколяции. Так, авторы работы [13] показали, что при изменении концентрации одностенных УНТ с 0,1 до 1% величина ε′ изменяется от 4 до 8. При этом величина тангенса угла диэлектрических потерь (tgδ) изменяется с 0,1 до 0,24, а проводимость нанокомпозита увеличивается с 10^-12 до 10^-9 См/см. Увеличение концентрации УНТ до 3% (проводимость нанокомпозита составляет 10^-3 См/см) приводит к возрастанию величины ε′ до 16, а tgδ – до 0,7.

Использование плоских пластин из композитов с углеродными нанотрубками позволяет получить узкополосный радиопоглощающий материал. Положение максимума поглощения и его ширину можно регулировать путем изменения концентрации УНТ. Например, согласно результатам работы [14], максимум поглощения и ширина пика поглощения по уровню -10 дБ изменяется с 6,4–8,2 (1,8 ГГц) до 7,5–10,1 (2,6 ГГц) и 12,0–15,1 (3,1 ГГц) при изменении концентрации одностенных УНТ в полиуретане. На ширину и положение пика максимума поглощения оказывает влияние тип матрицы [15] нанокомпозита, качество диспергирования УНТ [16] и другие факторы, которые влияют на проводимость нанокомпозита.

Возможным способом увеличения ширины полосы поглощения нанокомпозитов с углеродными нанотрубками является интегрирование наночастиц ферромагнитного металла или оксида внутрь углеродной нанотрубки. Образующийся карбид со структурой «ядро–оболочка» наряду с диэлектрическими потерями обладает высоким уровнем магнитных потерь. Такая комбинация позволяет получать нанокомпозиты с шириной полосы поглощения 16 ГГц по уровню -10 дБ [17] или даже 11 ГГц – по уровню -20 дБ [18].

Одна из основных проблем, которую необходимо решить при разработке радиопоглощающего композита, заключается в построении модели, описывающей диэлектрические и магнитные свойства среды с разупорядоченным распределением нанонаполнителя.

Прямое точное моделирование усредненных свойств таких сред невозможно. Один из способов нахождения усредненных параметров подобных разупорядоченных систем состоит в подмене их на периодизованные системы разупорядоченные лишь в пределах элементарной ячейки, вычислении соответствующих параметров данных периодизованных систем и их последующем усреднении. Данный подход требует множественного проведения однотипных расчетов с целью накопления статистики. В случае, когда требуется также найти зависимость усредненных характеристик разупорядоченных систем от различных параметров (например, пористости), необходимое число процедур расчета существенно возрастает. В связи с этим необходим метод, позволяющий быстро решать задачу для отдельных конфигураций модели материала.

В данной статье предложен итеративный метод, позволяющий быстро находить эффективные параметры среды (тензорывосприимчивостей), которая может быть представлена в виде кристалла с линейным откликом на внешнее электромагнитное поле и произвольной конфигурацией полей восприимчивостей в ячейке. Предложенный алгоритм достаточно хорошо поддается параллелизации, что позволяет эффективно использовать его для проведения расчетов на графических ускорителях.

Работа выполнена в рамках реализации комплексного научного направления 15. «Наноструктурированные, аморфные материалы и покрытия» («Стратегические направления развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года») [2].

Теоретическая часть

В рамках предлагаемого метода моделируемая среда представляет собой трехмерный, бесконечный по всем направлениям «кристалл» с прямоугольной ячейкой, однако метод может быть расширен непосредственно на случай ячеек произвольной формы. Микроскопические свойства среды задаются полями тензоров восприимчивостей поляризации и намагниченности к напряженности электрического поля и магнитной индукции (в линейном приближении). Для этого на базе ячейки «кристалла» строится прямоугольная сетка, узлам которой ставятся в соответствие значения компонент тензоров восприимчивостей, точный смысл которых раскрывается далее, а также рассматривается случай отсутствия остаточных поляризации и намагниченности. Однако метод может быть расширен для более общего случая, когда эти параметры не равны нулю.

Предполагается, что параметры ячейки в моделируемой среде значительно меньше длины волны электромагнитного излучения рассматриваемой частоты. Это требование связано со следующими соображениями:

– в этом случае понятие эффективных параметров среды остается актуальным независимо от строения ячейки;

– распространение электромагнитного излучения от близко расположенных (оказывающих существенное влияние) ячеек к рассматриваемой ячейке можно считать мгновенным (в противном случае в рамках предложенного метода возникают сложности при вычислении);

– это позволяет считать внешнее электромагнитное поле однородным.

Предлагаемая схема расчета основывается на итеративном вычислении полей поляризации и намагниченности периодической среды в заданном внешнем однородном монохроматическом электромагнитном поле. На каждой итерации сначала вычисляются поправки к полям поляризации и намагниченности, а затем – вызванные ими поправки к электрическому и магнитному полям.

Изначально задается однородное внешнее поле с круговой частотой ω (где    – комплекснозначные векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля), а также комплекснозначные параметры среды, устанавливающие линейную зависимость между параметрами  (где    – комплекснозначные векторы поляризации и намагниченности). Дальнейший расчет строится на следующих рекуррентных соотношениях:

где – комплекснозначный тензор второго ранга, описывающий восприимчивость величины α к величине β в линейном приближении (α и β – индексы, указывающие на тип связанных величин – см. выражения (7) и (8)); φ – скалярный электрический потенциал; – векторный потенциал; , k₀=ω/c, c – скорость света в вакууме; i=√-1; j – номер итерации; векторы со штрихом – найденная на текущей итерации поправка к полю;    – радиус-векторы; r – абсолютное значение радиус-вектора; – элемент объема, по которому производится интегрирование.

Решением данной системы уравнений является поле

Зададим прямое и обратное преобразования Фурье следующим образом:

где  – Фурье-образ некоторой функции F.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) зададим в следующем виде:

Избавимся от «сверток» и дифференцирования в выражениях (1)–(12), переписав их с привлечением операций в обратном пространстве:

Рассмотрим кристаллическую ячейку, имеющую форму параллелепипеда со сторонами а_х, а_у, а_z. Введем функцию f′, которая учитывает вклад от одинаковых элементов всех таких ячеек:

где – вектор смещения рассматриваемой ячейки,

тогда

Можно показать, что функция отлична от нуля только при k_αa_α=2πN, где α – индекс компоненты вектора; a_α – параметр решетки в направлении a, . Переходя к дискретному представлению ряда Фурье, можно записать:

где  V– объем ячейки.

Согласно выражениям (17) и (18), достаточно рассматривать параметры и  с теми же , для которых отличаются от нуля коэффициенты Фурье-разложения полей поляризации и намагниченности. Далее будем считать, что поля целиком описываются набором синусоид с пространственными частотами, не превышающими частот Найквиста по соответствующим направлениям ячейки.

Коэффициенты Фурье-разложения   для k=0 не влияют на векторы   и на любом этапе вычислений могут быть приняты равными нулю, благодаря чему можно также принять  . В случае k₀<<k выражения (21) и (22) могут быть упрощены:

При этом условии также упрощаются выражения (17)–(20):

Перепишем уравнение (29) для напряженности магнитного поля:

Таким образом, в случае нулевых параметров    оказывается возможным произвести разделение задачи на независимые подзадачи для электрического и магнитного полей.

Эффективные параметры среды вычисляются на основании сопоставления средних по ячейке значений  в различных комбинациях. Средние значения этих векторов могут быть непосредственно получены из нулевых коэффициентов Фурье-разложения, причем значения    остаются на всех итерациях равными заданному значению внешнего поля.

Как следует из вычислительной сложности быстрого преобразования Фурье (БПФ), предложенный итеративный алгоритм имеет вычислительную сложность итерации О(N_xN_yN_zlnN_xlnN_ylnN_z), а его потребность в объеме памяти ЭВМ составляет Θ(N_xN_yN_z), где N_x, N_y и N_z – размер сетки по соответствующим направлениям. Таким образом, предложенный способ так же хорошо масштабируется, как и БПФ.

Выводы

Предложенный способ расчета эффективных электродинамических параметров (тензоров восприимчивостей) периодической среды (кристалла с ячейкой в виде параллелепипеда) обладает хорошей масштабируемостью по отношению к размеру сетки.

В случае равенства нулю тензоров   задача может быть разделена на независимые подзадачи для электрического и магнитного полей, что позволяет уменьшить потребность в объеме памяти ЭВМ и ускорить расчет.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №15-38-20717 мол_а_вед.